Question

【题目】设p、q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；

（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．

Answer 1

【答案】（1）是闭区间上[1，2014]的“闭函数”，理由见解析（2）y=x或y=﹣x+m+n（3）c=﹣2，d=6为所求的实数

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；

（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；

（3）y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分两种情况进行讨论：①c＜2＜d；②c≥2．

解：（1）是由函数y=的图象可知，

当1≤x≤2015时，函数值y随着自变量x的增大而减小．

而当x=1时，y=2015；

x=2015，y=1，

故也有1≤y≤2015，

所以，函数y=是闭区间上[1，2014]的“闭函数”

（2）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，

所以根据一次函数的图象与性质，

必有：①当k＞0时，（m≠n）

解得k=1，b=0，

∴一次函数的解析式为y=x．

②当k＜0时，（m≠n），

解得k=﹣1，b=m+n

∴一次函数的解析式为y=﹣x+m+n故一次函数的解析式为y=x或y=﹣x+m+n

（3）由于函数y=x2﹣2x的图象开口向上，且对称轴为x=2，顶点为（2，﹣2）

由题意根据图象，分以下两种情况讨论：

①当2≤c＜d时，必有x=c，时，y=c且x=d时，y=d即方程y=x2﹣2x=x必有两个不等的实数根，解得x1=0，x2=6，而0，6分布在2的两边，这与2≤c＜d矛盾，舍去；

②当c＜2＜d时，必有函数值y的最小值为﹣2，由于此二次函数是闭区间[c，d]上的“闭函数”，故必有c=﹣2，从而有[c，d]=[﹣2，d]．

而当x=﹣2时，y=6即得点（﹣2，6），又点（﹣2，6）关于对称轴x=2的对称点为（6，6），由“闭函数”的定义可知必有x=d时，y=d，即d2﹣2d=d，解得d1=0，d2=6，故可得c=﹣2，d=6符合题意，

综上所述，c=﹣2，d=6为所求的实数．