Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．

方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．

①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；

②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DEF=∠FDG，证明见解析；②结论：BD=kDE．理由见解析.

【解析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E，想办法证明△AEC≌△AED即可；

方法二：如图3中，作∠DCF＝∠DCB，与AB相交于点F，想办法证明∠ACD＝∠ADC即可；

（2）①如图4中，结论：∠DEF＝∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；②结论：BD＝kDE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK＝∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出＝，推出BK＝kDE，再证明△BCD≌△BCK，可得BD＝BK.

解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．

∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，

∴∠CAE=∠CDB．

∵∠CDB+∠ACD=90°，

∴∠CAE+∠ACD=90°，

∴∠AEC=90°．

∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，

∴△AEC≌△AED，

∴AC=AD；

方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．

∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠BCF．

∵∠BCF+∠ACF=90°，

∴∠A+∠ACF=90°，

∴∠AFC=90°，

∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，

∴∠ACF=∠B，

∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，

∴AC=AD；

（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．

理由：在△DEF中，∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，

在△DFG中，∠GFD+∠G+∠FDG=180°，

∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，

∴∠DEF=∠FDG．

②结论：BD=kDE，

理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC，

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，

∴∠EDF=∠ABK．

∵∠DFE=∠A，

∴△DFE∽△BAK，

∴＝，

∴BK=kDE，

∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．

∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，

∴△BCD≌△BCK，

∴BD=BK，

∴BD=kDE