Question

【题目】如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b时，函数的解析式不同）．

（1）填空：△ABC的面积为 ；

（2）求直线AB的解析式；

（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线AB的解析式为y=﹣x+1；（3）S=．

【解析】（1）由图2结合平移即可得出结论；

（2）判断出△AOB≌△CEA，得出AE＝OB，CE＝OA，再由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，即可利用三角形ABC的面积求出OB，OA，即可得出结论；

（3）分两种情况，利用三角形的面积公式或三角形的面积差即可得出结论．

（1）结合△ABC的移动和图2知，点B移动到点A处，就是图2中，m=a时，S=S△A'B'D=，点C移动到x轴上时，即：m=b时，S=S△A'B'C'=S△ABC=．

故答案为：；

（2）如图2，过点C作CE⊥x轴于E，

∴∠AEC=∠BOA=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAE=90°，

∵∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠OBA=∠CAE，

由旋转知，AB=AC，

∴△AOB≌△CEA，

∴AE=OB，CE=OA，

由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，

∴OA=2OB，

∴AB2=5OB2，

由（1）知，S△ABC==AB2=×5OB2，

∴OB=1，

∴OA=2，

∴A（2，0），B（0，1），

∴直线AB的解析式为y=﹣x+1；

（3）由（2）知，AB2=5，

∴AB=，

①当0≤m≤时，如图3，

∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，

∴△AOB∽△AA'F，

∴，

由运动知，AA'=m，∴，

∴A'F=m，

∴S=AA'×A'F=m2，

②当＜m≤2时，如图4，

同①的方法得：A'F=m，

∴C'F=﹣m，

过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BM⊥CE于E，

∴BM=3，CM=1，

易知，△ACE∽△FC'H，

∴，

∴，

∴C'H=．

在Rt△FHC'中，FH=C'H=，

由平移知，∠C'GF=∠CBM，

∵∠BMC=∠GHC'，

∴△BMC∽△GHC'，

∴，

∴，

∴GH=，

∴GF=GH﹣FH=，

∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=﹣××=﹣（2﹣m）2，

即：S=．