Question

【题目】如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上， ， ．将射线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．

解答问题：

（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；

②在平移过程中， 的值为 （用含的代数式表示）；

（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落在线段上时，如图3所示,计算的值；

（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度， ≤，原题中的其他条件保持不变.如图4所示，请补全图形,计算的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①1， ② ；（2）1；（3）.

【解析】试题分析：（1）①根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而转化为，继而得出结论；②仿照①的思路进行求解即可；

（2）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．

（3）先画出图形，然后证明△ABG≌△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．

试题解析：解：（1）①如图，∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，∴ ==1；

②如图：

由①可得=；

（2）连接AE．∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°，∴DF=，AC=，∠EFB=90°，∴DF=2AC，AD=，∴点A为CD的中点，∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=．∵∠BEM=45°，∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∴△AEM∽△FEB，∴ ，∴AM=，∴DM=AD﹣AM=，∴=1．

（3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG，∴∠EBG=90°．∵∠BEM=45°，∴∠EGB=∠BEM=45°，∴BE=BG．∵△ABC为等腰直角三角形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABG≌△CBE，∴AG=EC=k，∠3=∠4．∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，∴∠6=∠5，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴ ．