Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,以A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B. C,与y轴的负半轴相交于D,抛物线y=x+bx+c经过B. C. D三点。

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若动直线MN(MN∥x轴)从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，若以P、C. M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值；

②当t为何值时, 的值最大，并求出最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=xx4；（2）t=2或t=，②当t=2时取最大值2；

【解析】

（1）直接利用圆的性质得出B，C点坐标，进而利用交点式求出函数解析式；

（2）①直接利用若△PCM∽△OCD或△MCP∽△OCD，分别得出t的值求出答案即可；

②利用MN∥OC，则 ，进而求出关于t的关系式求出最值即可．

(1)∵A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B. C,

∴B(2,0),C(8,0)，

代入抛物线y= (x+2)(x8)，

得y=xx4；

(2)①由题可得N(0,t4),P(82t,0)，

若△PCM∽△OCD，

则 ,即 ，

解得t=2；

若△MCP∽△OCD,则,即，

解得t= ，

即当t=2或t=时，以P、C. M为顶点的三角形与△OCD相似。

②∵MN∥OC，

，即MN=2t，

又∵OP=82t，

∴，

∴当t=2时取最大值2.