Question

【题目】我们给定两个全等的正方形、，它们共顶点（如图），可以绕顶点旋转，，相交于点，以下各问题都以此为前提．

问题要求：

连接、（如图），求证：，；

连接、（如图），有三个结论：

①；

②；

③与位似．

请你从①，②，③三个结论中选择一个进行证明：

（说明：选①做对的得分，选②做对的得分，选③做对的得分）

连接、（如图），求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析；③．

【解析】

（1）根据正方形的性质，即可得AB=AD，∠BAE=90°﹣∠EAD=∠DAG，AE=AG，由边角边判定方法即可证得△ABE≌△ADG，即BE=DG；∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，所以△ADG可以看成由△ABE绕顶点A旋转90°，即BE⊥DG；

（2）根据等边对等角即可证得BG∥CF；根据平行线的性质可的对应角相等，即可证得②△ABG∽△PCF；续②连接AP交GF的延长线于Q1，交BC的延长线于Q2，由位似的性质即可求得；

（3）连接AC，AF，CF．可证得△ABE∽△ACF，根据相似三角形的性质即可求得．

（1）∵AB=AD，∠BAE=90°﹣∠EAD=∠DAG，AE=AG，∴△ABE≌△ADG，即BE=DG．

分别延长GD，BE交于点M交EF于点N．

∵∠MEN+∠ENM=∠MEN+∠AGD=∠BEA+∠NEM=90°，∴BE⊥GD．

（∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，∴△ADG可以看成由△ABE绕顶点A旋转90°，即BE⊥DG．）

（2）①∵AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，∠CBG=∠FGB，∴∠GBC=∠BGF．

又∵BC=GF，∴∠BCF=∠GFC．

又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°，∴∠CBG+∠BCF=180°，即BG∥CF；

②续①又∵AB∥PC，AG∥PF，∴∠ABG=∠PCF，∠AGB=∠PFC即△ABG∽△PCF；

③续②连接AP交GF的延长线于Q1，交BC的延长线于Q2，则==，而AB=AG，PC=PF，∴=，亦有=，Q1P=Q2P，∴Q1，Q2重合，即BC，AP，GF相交于点Q，△ABG与△PCF位似．

（3）连接AC，AF，CF．

∵ABCD和AEFG都是正方形，∴CA=AB，AF=AE，∠BAC=∠EAF=45°，∴AC：AF=AB：AE=AB：AE，∠BAE=∠CAF，∴△ABE∽△ACF，=．