Question

【题目】平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是.

Answer 1

【答案】①②④
【解析】试题解析：令GF和AC的交点为点P，如图

∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF= CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG= AB= CD=FE，
在△EFG和△GBE中，
，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO= BD=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP=PE，且GP= BE，
在△APG和△EGP中，
，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG=EG= AB，
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF=BE，
∵GP= BE= GF，
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中，
，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．