Question

【题目】如图，已知抛物线y=a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣ x+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值；
（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y=a（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线y=﹣ x+b经过点B（4，0），

∴﹣ ×4+b=0，解得b= ，

∴直线BD解析式为：y=﹣ x+ ，

当x=﹣5时，y=3 ，

∴D（﹣5，3 ），

∵点D（﹣5，3 ）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，

∴a= ．

∴抛物线的函数表达式为：y= x2﹣ x﹣

（2）

解：设P（m， m2﹣ m﹣ ）

∴S△BPD= ×9[（﹣ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣ ）]

=﹣ m2﹣ m+10

=﹣ （m+ ）2+

∴△BPD面积的最大值为

（3）

解：如图，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵由（2）得，DN=3 ，BN=9，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FG=DF×sin30°= FD，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t=AF+ FD=AF+FH，

∵lBD：y=﹣ x+ ，

∴Fx=Ax=﹣2，F（﹣2，2 ）

∴当F坐标为（﹣2，2 ）时，用时最少

【解析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得a的值；（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再确定出最大值；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+ DF．如图，作辅助线，将AF+ DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．