Question

【题目】(本小题满分10分) 已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．

（1）若k =﹣1，求△OAB的面积S；

（2）若AB= ，求k的值；

（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，问在第二象限内是否存在一点Q，使得四边形QMPN是周长最小的平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标。

Answer 1

【答案】（1）；（2）k=-2或k=-；（3）Q（— ，2 ）．

【解析】试题分析：(1)、首先求出当k=1时直线与反比例函数的交点，然后根据△OAB的面积=△AOC的面积减去△BOC的面积得出答案；(2)、首先联立一次函数与反比例函数得出方程，从而求出两根之和和两根之积，然后根据两点之间的距离得出关于k的一元二次方程，从而求出k的值；(3)、设P（x，），则M（﹣+，），从而得出PM和PF的长度，根据PM+PN=PF+PN≥NF=2，从而根据(1)得出最小值.

试题解析：（1）当k=1时，l1：y=﹣x+2，

联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，

解得：x1=﹣1，x2=+1，

设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；

（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的两根，

∴ ①，

∴AB==，

=，

=，

将①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=-2，或 k=﹣；

（3）F（，），

设P（x，），则M（﹣+，），

则PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小，此时四边形QMPN是周长最小的平行四

边形，所以Q（— ，2 ）。