Question

【题目】(2016山东潍坊第25题)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）P（﹣，﹣）；（3）（﹣4，1）或（3，1）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．

试题解析：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，

∴，

∴b=2，c=1，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，

（2）∵AC∥x轴，A（0，1）

∴x2+2x+1=1，

∴x1=6，x2=0，

∴点C的坐标（﹣6，1），

∵点A（0，1）．B（﹣9，10），

∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，

设点P（m， m2+2m+1）

∴E（m，﹣m+1）

∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，

∵AC⊥EP，AC=6，

∴S四边形AECP

=S△AEC+S△APC

=AC×EF+AC×PF

=AC×（EF+PF）

=AC×PE

=×6×（﹣m2﹣3m）

=﹣m2﹣9m

=﹣（m+）2+，

∵﹣6＜m＜0

∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，

此时点P（﹣，﹣）．

（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，

∴P（﹣3，﹣2），

∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，

∴PF=CF，

∴∠PCF=45°

同理可得：∠EAF=45°，

∴∠PCF=∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的Q，

设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3

∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，

①当△CPQ∽△ABC时，

∴，

∴，

∴t=﹣4，

∴Q（﹣4，1）

②当△CQP∽△ABC时，

∴，

∴，

∴t=3，

∴Q（3，1）．