Question

【题目】将等腰直角三角形ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按图1摆放，点D在BC边的中点上，点A在DE上．

（1）填空：AB与EF的位置关系是　 　；

（2）△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF，DE分别交AB，AC于点P，Q，求证：∠BPD+∠DQC＝180°；

（3）如图2，在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论；

（3）连接AD，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ，进而可根据ASA证明△BDP≌△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°，

∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°，

∴∠F＝∠ ABD，∴AB∥EF；

故答案为：平行；

（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，

∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°，

∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°；

（3）S1与S2之间存在不变的数量关系：S1＝2S2.

理由：连接AD，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝AD＝BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，

∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°，

∴∠BDP＝∠ADQ，

∴△BDP≌△ADQ（ASA），

∴S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，

又∵S△ADB＝S1，

∴S1＝2S2．