Question

【题目】如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG.

(1)求证：AC＝FG；

(2)当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；

（2）由（1）的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．

试题解析：

(1)∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，

∴∠ABC＝∠EAD＝∠CAD＝∠ACB，

∴AB＝AC.

∵AF是BC边上的中线，

∴AF⊥BC.

∵CG⊥AD，AD∥BC，

∴CG⊥BC，

∴AF∥CG，

∴四边形AFCG是平行四边形．

∵∠AFC＝90°，

∴四边形AFCG是矩形．

∴AC＝FG.

(2)当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

∵四边形AFCG是矩形，AC⊥FG，

∴四边形AFCG是正方形，∠ACB＝45°.

∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．