Question

【题目】如图，△OAB与△OCD都是等边三角形，连接AC、BD相交于点E．

（1）求证：①△OAC≌△OBD，②∠AEB=60°；

（2）连结OE，OE是否平分∠AED？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）求证：①详见解析；②详见解析；（2）OE平分∠AED，理由详见解析．

【解析】

（1）①根据SAS即可判定．②由△OAC≌OBD，推出∠OAE=∠OBD，由△OAB是等边三角形，推出∠OAB+∠OBA=120°，推出∠OAE+∠BAE+∠OBA=120°，即∠EAB+∠EBA=120°，推出∠AEB=60°．
（2）OE平分∠AED．作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N．由△OAC≌△OBD，推出S△OAC=S△OBD，推出ACOM=BDON，推出OM=ON，再根据角平分线判定定理即可证明．

（1）证明：①∵△OAB与△OCD都是等边三角形，

∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，

即∠AOC=∠BOD，

∴△OAC≌△OBD．

②∵△OAC≌OBD，

∴∠OAE=∠OBD，

∵△OAB是等边三角形，

∴∠OAB+∠OBA=120°，

∴∠OAE+∠BAE+∠OBA=120°，

即∠EAB+∠EBA=120°，

∴∠AEB=60°．

（2）解：OE平分∠AED．理由如下：

作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N．

∵△OAC≌△OBD，

∴S△OAC=S△OBD，

∴ACOM=BDON，

∴OM=ON，

∴OE平分∠AED．