Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
（1）如果∠B+∠C=120°，则∠AED的度数= ． （直接写出结果）
（2）根据（1）的结论，猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）解：∠AED= （∠B+∠C）．

理由如下：在四边形ABCD中，

∵∠BAD+∠CDA+∠B+∠C=360°，

∴∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠B+∠C），

又∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴∠EAD= ∠BAD，∠EDA= ∠ADC，

∴∠EAD+∠EDA= ∠BAD+ ∠ADC= [360°﹣（∠B+∠C）]，

在△AED中，又∵∠AED=180°﹣（∠EAD+∠EDA），

=180°﹣ [360°﹣（∠B+∠C）]，

= （∠B+∠C），

故∠AED= （∠B+∠C）．

【解析】解：（1）在四边形ABCD中，∵∠B+∠C=120°， ∴∠BAD+∠CDA=360°﹣120°=240°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EAD= ∠BAD，∠EDA= ∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA= ∠BAD+ ∠ADC= （∠BAD+∠CDA）= ×240°=120°，
在△AED中，∠AED=180°﹣（∠EAD+∠EDA），
=180°﹣120°，
=60°；
所以答案是：60°．
【考点精析】本题主要考查了多边形内角与外角的相关知识点，需要掌握多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°才能正确解答此题．