Question

【题目】如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时， 的值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，
∴∠D=180°﹣∠A=120°，
根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，
∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，
∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，
∴∠CBM=∠M，
∴BC=CM，
设CF=x，D′F=DF=y，
则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，
∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= = = ，
∴x= y，
∴ = = ．
故答案为： ．

首先延长DC与A′D′，交于点M，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案．