Question

【题目】四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8． ①连结OE，求△OBE的面积．
②求弧AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE=EC，BE=ED，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AB为直径，且过点E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：①连结OF．

∵CD的延长线与半圆相切于点F，

∴OF⊥CF．

∵FC∥AB，

∴OF即为△ABD中AB边上的高．

∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16，

∵点O是AB中点，点E是BD的中点，

∴S△OBE= S△ABD=4．

②过点D作DH⊥AB于点H．

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．

∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，

∴∠DAH=30°．

∵点O，E分别为AB，BD中点，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°．

∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°．

∴弧AE的长= = ．

【解析】（1）先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）①连结OF，由切线可得OF为△ABD的高且OF=4，从而可得S△ABD ， 由OE为△ABD的中位线可得S△OBE= S△ABD； ②作DH⊥AB于点H，结合①可知四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，根据sin∠DAB= = 知∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根据弧长公式可得答案