Question

【题目】问题背景

如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，

，于是．

迁移应用

（1）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一直线上，连接BD．

（ⅰ）求证：△ADB≌△AEC；

（ⅱ）请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式．

拓展延伸

（2）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．

（ⅰ）证明：△CEF是等边三角形；

（ⅱ）若AE=5，CE=2，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）3

【解析】分析：（ⅰ）根据,得到，又,即可证明.

（ⅱ）根据 ≌，得到借助问题背景的结论得到

根据即可写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式．

（ⅰ）连接BE．根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形证明即可.

（ⅱ）如图3，过点B作BH⊥AF于H, AE=5，EF=EC=2，得到FH=4.5，根据 , 即可求出BF的长.

详解：（1）（ⅰ）如图，∵, ≌.

∴ ,

在和中，

∵

∴ ≌.

（ⅱ） ≌.

.

（2）（ⅰ）连接BE．如图3，

∵E、C关于BM对称,

∴ 设，则,

.

∵

∴

∴，

又∵

∴△CEF是等边三角形

（ⅱ）如图3，过点B作BH⊥AF于H

∵AE=5，EF=EC=2，

∴FH=4.5，

在Rt△BHF中，

∵∠BFH=30°，

∴ ,

∴.