Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线．

（1）尺规作图：过点D作DE⊥AC于E；
（2）求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法1，如图1所示，过点D作AC的垂线即可；

方法2：运用角平分线的性质，以点D为圆心，BD的长为半径画圆，⊙D和AC相切于点E，连接DE即可．

（2）

解：方法一：设DE=x，则AC= =5．

∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，

∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．

∵S△ACD= = ，

∴ = ，解得x= ，

∴DE=x= ．

方法二：设DE=x，则AC= =5．

∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，

∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．

∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△DEC∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，解得x= ，

∴DE=x= ．

方法三：设DE=x，则AC= =5．

∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，

∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．

∵在Rt△ABC中，sin∠C= = ，

在Rt△DEC中，sin∠C= = ，

∴ = ，解得x= ，

∴DE=x= ．

【解析】（1）根据过直线外一点作直线垂线的作法即可画出图形；（2）设DE=x，则AC= =5，跟进吧AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x，再由S△ACD= = 求出x的值即可．
【考点精析】利用角平分线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．