Question

【题目】如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

Answer 1

【答案】
（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．

∵EH∥AP，

∴△ACP∽△ECH，

∴ = = = ，

∴CH=2n，EH=2m=6，

∵CD⊥AB，

∴PC=PD=n，

∵PB∥HE，

∴△DPB∽△DHE，

∴ = = = ，

∴ = ，

∴m=1，

∴P（1，0）．

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，

连接OP，在Rt△OCP中，PC= =2 ，

∴CH=2PC=4 ，PH=6 ，

∴E（9，6 ），

∵抛物线的对称轴为CD，

∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6 ）代入得到a= ，

∴抛物线的解析式为y= （x+3）（x﹣5），即y= x2﹣ x﹣

【解析】（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先证明△ACP∽△ECH，推出 = = = ，推出CH=2n，EH=2m=6，再证明△DPB∽△DHE，推出 = = = ，可得 = ，求出m即可解决问题；（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），求出E点坐标代入即可解决问题；