Question

【题目】阅读与思考 婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN=DN．
证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．
∴∠BAP=∠BPM．
∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．
∴…

（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．
（2）已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在⊙O上，∠BCD=60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．

∴∠BAP=∠BPM．

∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．

∴∠DPN=∠PDN，

∴DN=PN，

同理：CN=PN，

∴CN=DN

（2）1
【解析】解： （2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°， ∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠CPD=90°，
在△CPD和△APB中， ，
∴△CPD≌△APB（AAS），
∴CD=AB=2，
∵∠CPD=90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，
∴同（1）得：CN=DN，
∴PN= CD=1；
所以答案是：1．
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和圆内接四边形的性质是解答本题的根本，需要知道在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．