Question

【题目】建立模型：

如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC.这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.

模型应用：

(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．

①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；

②若AB为直角边，求点C的坐标；

(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.

Answer 1

【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、.

【解析】

（1）①过C作CD垂直于x轴构造“一线三垂直”，再根据全等三角形的性质求解即可；②点C有四处，分别作出图形，根据“一线三垂直”或对称求解即可；（2）当点G为直角顶点时，分点G在矩形MFNO的内部与外部两种情况构造“一线三垂直”求解即可．

（1）①如图，过C作CD垂直于x轴，

根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，

∵点A（0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3 ，

∴OD=3+4=7，

∴点C的坐标为（7,3）；

②如图，若AB为直角边，点C的位置可有4处，

a、若点C在①的位置处，则点C的坐标为（7,3）；

b、若点C在的位置处，同理可得，则点的坐标为（4,7）；

c、若点C在的位置处，则、关于点A对称，

∵点A（0，4)，点（4,7），∴点的坐标为（-4,1）；

d、若点C在的位置处，则、C关于点B对称，

∵点B(3，0），点C（7,3），∴点的坐标为（-1,-3）；

综上，点C的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；

（2）当点G位于直线y=2x-6上时，分两种情况：

①当点G在矩形MFNO的内部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF于点B，设G（x，2x-6）；

则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；

则△MAG≌△GBP，得AM =BG，

即：12-2x=8-x，解得x=4，

∴G（4，2）；

当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF的延长线于点B，设G（x，2x-6）；

则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；

则△MAG≌△GBP，得AM =BG，

即：2x-12=8-x，解得，

∴G ；

综上，G点的坐标为（4，2）、.