Question

【题目】已知：如图，，，点是边上一点，过点作（垂足为）交于点，且，以点为圆心，长为半径作交于点

求证：斜边是的切线；

设与相切的切点为，，，连、，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）．

【解析】

（1）过作于，过作于，可证明四边形FMCE是矩形，由EF//AC可知∠A=∠GFE，即可证明，从而证明EG⊥AB，FM==EG，根据FM=CE可知EG=EC即可证明AB是的切线；（2）由∠ACB=90°可知AC是切线，所以AG=AC，由EF=AF可求出FG的长，根据勾股定理可求出EG的长，根据勾股定理求出AE的长即可.

过作于，过作于，

则，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，，

∵，

∴，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴斜边是的切线；

∵，

∴是的切线，

∵是的切线，，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：，

即，

在中，，，由勾股定理得：．