Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠A=90°，

∴∠DCP+∠CPD=90°，

∵∠CPD+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠PCD，

∵∠A=∠CDP=90°，

∴△ABD∽△DPC，

∴ = ，

∴ = ，

∴PD= ，

∴t= s时，B、E、D共线．

（2）

如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4

易证四边形EMCQ是矩形，

∴CM=EQ=3，∠M=90°，

∴EM= = = ，

∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，

∴△ADC∽△DME，

= ，

∴ = ，

∴AD=4 ，

如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．

作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM= = ，

由△DME∽△CDA，

∴ = ，

∴ = ，

∴AD= ，

综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围 ≤m＜4 ．

【解析】（1）只要证明△ABD∽△DPC，可得 = ，由此求出PD即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3；