Question

【题目】探索题：(x－1)(（x＋1)＝x2－1，

(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1,

（x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1,

（x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1.

（1）观察以上各式并猜想：

①(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝________________________；

②(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x3＋x2＋x＋1)＝ ________________________；

（2)请利用上面的结论计算：

①(－2）50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1

②若x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1＝0，求x2016的值.

Answer 1

【答案】（1）① ；② ；（2）① ；②1．

【解析】

（1）每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1；根据得出的规律直接写出答案；

（2）利用得出的规律计算得到结果．

解：（1）①(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝ ；

②(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x3＋x2＋x＋1)＝ ；

（2）①(－2）50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1

=÷（-2-1）

= ；

②∵x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1＝0，

∴（x-1）（x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1）= =0，

∴ ，

∴ .

故答案为：（1）① ；② ；（2）① ；②1．