Question

【题目】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。

Answer 1

【答案】（2）

【解析】

试题（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE，再通过Rt△ABC可知∠0EC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；

（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，最后根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果.

试题解析：

证明：（1）连接FO

易证OF∥AB

∵AC⊙O的直径

∴CE⊥AE

∵OF∥AB

∴OF⊥CE

∴OF所在直线垂直平分CE

∴FC＝FE，OE＝OC

∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE

∵Rt△ABC

∴∠ACB＝90°

即：∠0CE＋∠FCE＝90°

∴∠0EC＋∠FEC＝90°

即：∠FEO＝90°

∴FE为⊙O的切线

（2）∵⊙O的半径为3

∴AO＝CO＝EO＝3

∵∠EAC＝60°，OA＝OE

∴∠EOA＝60°

∴∠COD＝∠EOA＝60°

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3

∴CD＝

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，

CD＝，AC＝6

∴AD＝