Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC= ，求DE的长；
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠ACB=60°

∵OA=OC，

∴∠AOC=60°，

∵AF是⊙O的切线，

∴∠OAF=90°，

∴∠AFC=30°，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠DBC=90°，

∴∠D=∠AFC=30，

∵∠DAE=ACF=120°，

∴△ACF∽△DAE；

（2）

∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，

∴∠CAF=30°，

∴∠CAF=∠AFC，

∴AC=CF

∴OC=CF，

∵S△AOC= ，

∴S△ACF= ，

∵∠ABC=∠AFC=30°，

∴AB=AF，

∵AB= BD，

∴AF= BD，

∴∠BAE=∠BEA=30°，

∴AB=BE=AF，

∴ = ，

∵△ACF∽△DAE，

∴ =（ ）2= ，

∴S△DAE= ，

过A作AH⊥DE于H，

∴AH= DH= DE，

∴S△ADE= DEAH= × DE2= ，

∴DE= ；

（3）

∵∠EOF=∠AOB=120°，

在△AOF与△BOE中， ，

∴△AOF≌△BEO，

∴OE=OF，

∴∠OFG= （180°﹣∠EOF）=30°，

∴∠AFO=∠GFO，

过O作OG⊥EF于G，

∴∠OAF=∠OGF=90°，

在△AOF与△OGF中， ，

∴△AOF≌△GOF，

∴OG=OA，

∴EF是⊙O的切线．

【解析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据S△AOC= ，得到S△ACF= ，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE= ，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH= DH= DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG= （180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．