【题目】如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交 AD 、BC 于点 E 、F ， AC 与EF 交于点O ，连结 AF 、CE 。

（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；

（2）若 AB 4, AD 8 ，求菱形 AFCE 的边长。

参考答案：

【答案】(1)见解析;(2)3.

【解析】

（1）由矩形的性质得出AD∥BC,∠EAO=∠FCO,证明△AEO≌△CFO,得出AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,再由对角线AC⊥EF,即可得出结论; （2）设AF=CF=x,则BF=8－x,在Rt△ABF中,根据勾股定理得出方程,解方程即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,AD=BC,

∴∠EAO=∠FCO,

∵EF是AC的垂直平分线,

∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,

在△AEO和△CFO中,

,

∴△AEO≌△CFO（ASA）,

∴AE=CF,

∴四边形AFCE是平行四边形,

又∵AC⊥EF,

∴四边形AFCE是菱形;

（2）解：∵四边形AFCE是菱形,

∴AF=CF, 设AF=CF=x,则BF=8-x,

在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2,

即x2=42+（8-x）2， 解得 x= 3,

∴菱形AFCE的边长为3．

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