Question

【题目】如图，已知直线y= x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与轴交于另一点B（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线y= x﹣2上方的抛物线上存在一动点D，连接AD、CD，设点D的横坐标为m，△DCA的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以 为半径的圆与直线AC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在y轴的正半轴上存在一点P，使∠APB的值最大，请直接写出当∠APB最大时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入y= x﹣2得：y=﹣2．

∴C（0，﹣2）．

把y=0代入得： x﹣2=0，解得：x=4．

∴A（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x﹣1），将点C的坐标代入得：4a=﹣2，解得：a=﹣ ．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x﹣2．

（2）

解：过点D作y轴的平行线交AC与E，则点D（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．

∴DE=﹣ m2+ m﹣2﹣（ m﹣2）=﹣ m2+2m．

∴△DAC的面积S= ×4×（﹣ m2+2m）=﹣m2+4m．

∴当m=2时，S的最大值为4．

∴S与m的关系式为S=﹣m2+4m，△DCA的最大面积为4．

（3）

解：∵⊙M与AC相切，

∴△AMC的AC边上的高为 ．

∵AC=2，OA=4，

∴AC=2 ．

∴S△ACM= ×2 × =4．

当点M在AC的上时，由（2）可知：当m=2．

∴点M的坐标为（2，1）．

当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，则点M（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．

∴ME=（ m﹣2）﹣（﹣ m2+ m﹣2）= m2﹣2m．

∴△MAC的面积S= ×4×（ m2﹣2m）=m2﹣4m．

∴m2﹣4m=4，整理得：m2﹣4m﹣4=0，解得：m=2+2 或m=2﹣2 ．

∴点M的坐标为（2+2 ， ﹣3）或（2﹣2 ，﹣ ﹣3）．

（4）

解：如图3所示：过点A作AE⊥PB，垂足为E．

设点P的坐标为（0，a）．依据勾股定理得：AP= ．

设直线BP的解析式为y=kx+a，将点B的坐标代入得：k+a=0，解得：k=﹣a．

∴直线PB的解析式为y=﹣ax+a．

设直线AE的解析式为y= x+b，将点A的坐标代入得： +b=0，解得：b=﹣ ．

∴直线AE的解析式为y= x﹣ ．

将y=﹣ax+a与y= x﹣ 联立，解得：x= ，y= ．

∴点E的坐标为（ ， ）．

∴AE= ．

∵sin∠APB= ，

∴sin2∠APB= = = = ．

∵a2+ ≥2×a =8，

∴当a= 时，sin∠APB有最大值，解得a=2或a=﹣2（舍去）．

∴当a=2时，∠APB有最大值．

∴P（0，2）．

【解析】（1）先求得C（0，﹣2）、A（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x﹣1），将点C的坐标代入可求得a的值；（2）过点D作y轴的平行线交AC与E，则点D（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．则DE=﹣ m2+2m，然后利用三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质可得到△DCA的面积的最大值；（3）先依据勾股定理可求得AC的长，然后可得到△ACM的面积=4，当点M在AC的上时，由（2）可知M（2，1）．当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，则点M（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．则ME= m2﹣2m，然后可得到S与m的函数关系式，将s=4代入可求得m的值，从而得到点M的坐标；（4）过点A作AE⊥PB，垂足为E．设点P的坐标为（0，a）．依据勾股定理得：AP= ．然后再求得BP、AE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后由sin∠APB= ，得到sin2∠APB ，故此当a= 时，sin∠APB有最大值，从而可求得a的值．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．