Question

【题目】如图，在△ABC 中，AB=AC，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M，点 O在 AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC 于点G，交 AB 于点 F．

（1）求证：AE 为⊙O 的切线．

（2）当 BC=8，AC=12 时，求⊙O 的半径．

（3）在（2）的条件下，求线段 BG 的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）3（3）2

【解析】分析：（1）连接OM.利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM，后即可证得AE是的切线；
（2）设的半径为r，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到

，即可解得 ,的半径为3；

（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2.

详解：(1)证明：连接OM.

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC,

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是的切线；

(2)设的半径为r，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴即，

解得

∴的半径为3；

(3)过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，

∵

∴四边形OMEH是矩形，

∴HE=OM=3，

∴BH=1，

∴BG=2BH=2.