Question

【题目】探究题

已知：如图1，，．求证：．

老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 .

（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，然后在平行线间画了一点，连接后，用鼠标拖动点，分别得到了图2，3，4，小颖发现图3正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图2和4中的、与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．

请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

①猜想图2中、与之间的数量关系并加以证明；

②补全图4，直接写出、与之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+F；②∠F=∠B+∠BDF

【解析】

(1)根据两直线平行同旁内角互补即可解决问题；

(2)①猜想∠BDF=∠B+∠F.过点D作CD//AB.利用平行线的性质即可解决问题；

②∠BDF与∠F之间的数量关系是∠F=∠B+∠BDF.利用平行线的性质已经三角形的外角的性质即可解决问题；

．

：(1)两直线平行同旁内角互补．

故答案为两直线平行同旁内角互补．

(2)①猜想∠BDF=∠B+∠F．

证明：过点D作CD//AB．

∴∠B=∠BDC．

∵AB//EF，∴CD//EF．

∴∠CDF=∠F．

∵∠BDF=∠BDC+∠CDF，

∴∠BDF=∠B+F．

②补全图形如图所示：∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系是∠F=∠B+∠BDF．

理由：∵AB//EF，

∴∠1=∠F，

∵∠1=∠B+∠D，

∴∠F=∠B+∠BDF．

故答案为∠F=∠B+∠BDF．