Question

【题目】如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．

(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？

(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．

①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD.

Answer 1

【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可；

（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论；

②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立．

试题解析：

解：（1）∵CD⊥AB，

而平行光线垂直AB，

∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD；

（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°．

∵∠B＝∠B，

∴△BCD∽△BAC，

∴，

∴BC2＝BDAB；

②同理可得：△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2＝ADBD．