Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求一次函数y=x+n的表达式；
（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）二次函数的对称轴是x==1，
则﹣=1，
解得：b=﹣2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．
∴c=﹣1，
则二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣1；
（2）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2），
代入y=x+n得﹣2=1+n，
解得：n=﹣3，
则一次函数y=x+n的表达式是y=x﹣3；
（3）如图所示：

在y=x2﹣2x﹣1中，当x=﹣1时，y=2；
当x=1时，y=﹣2．
当直线y=mx﹣3经过点（﹣1，2）时，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；
当直线y=mx﹣3经过点（1，﹣2）时，m﹣3=﹣2，解得：m=1．
则当﹣5＜m＜1时，当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．
【解析】（1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，﹣1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；
（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；
（3）首先求得抛物线上当x=﹣1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法即可以解答此题．