Question

【题目】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE＝OF；

（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析．

【解析】

（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；

（2）根据平行四边形的判定先证明AECF是平行四边形，再由证明是矩形即可．

（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

理由是：当O为AC的中点时，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

由题意可知CE平分∠ACB，CF平分∠ACB，

即

∴平行四边形AECF是矩形．