Question

【题目】如图①，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N．

（1）当A点第一次落在直线y=x上时，求点A所经过的路线长；
（2）在旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，

∴OA旋转了45°，

∴点A经过的路线长为 =

（2）解：∵四边形OABC是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

当MN∥AC时，∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，

∵BA=BC，

∴AM=CN，

∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，

∴△OAM≌△OCN，

∴∠AOM=∠CON，

∵∠MON=45°，

∴∠AOM= （90°﹣45°）=22.5°，

∴旋转过程中，当MN∥AC时，正方形OABC旋转的角度为45°﹣22.5°=22.5°

（3）解：P值无变化．延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM．

∴∠AOE=∠CON，

∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

∴△OAE≌△OCN，

∴OE=ON，AE=CN，

∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN，

∴MN=ME=AM+AE，

∴MN=AM+CN，

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BM=AB+BC=4，

∴正方形OABC旋转过程中，P值无变化．

【解析】（1）点A经过的路线是一段弧，根据弧长公式求出圆心角的度数及半径即可求解。
（2）根据已知条件易证得△OAM≌△OCN，得出∠AOM=∠CON，即可求出∠MON、∠AOM的度数。
（3）P值无变化．延长BA交y轴于E点，先证明△OME≌△OMN，证得OM=OM，再证明△OME≌△OMN，得出MN=ME=AM+AE，即得MN=AM+CN，即可得到p的值。