Question

【题目】如图，已知中，，点以每秒1个单位的速度从向运动，同时点以每秒2个单位的速度从向方向运动，到达点后，点也停止运动，设点运动的时间为秒.

(1)求点停止运动时，的长;

(2) 两点在运动过程中，点是点关于直线的对称点，是否存在时间，使四边形为菱形?若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.

(3) 两点在运动过程中，求使与相似的时间的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

（1）求出点Q的从B到A的运动时间，再求出AP的长，利用勾股定理即可解决问题．

（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根据DQ=CK，构建方程即可解决问题．

（3）分两种情形：如图3-1中，当∠APQ=90°时，如图3-2中，当∠AQP=90°时，分别构建方程即可解决问题．

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

点Q运动到点A时，t==5，

∴AP=5，PC=1，

在Rt△PBC中，PB=．

（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．

∵四边形PQCE是菱形，

∴PC⊥EQ，PK=KC，

∵∠QKC=∠QDC=∠DCK=90°，

∴四边形QDCK是矩形，

∴DQ=CK，

∴，

解得t=．

∴t=s时，四边形PQCE是菱形．

（3）如图2中，当∠APQ=90°时，

∵∠APQ=∠C=90°，

∴PQ∥BC，

∴，

∴，

∴．

如图3中，当∠AQP=90°时，

∵△AQP∽△ACB，

∴，

∴，

∴，

综上所述，或s时，△APQ是直角三角形．