Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为　 　；

（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）成立.理由见解析.

【解析】

（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

解：（1）正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BE，

∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，

∵∠AFO=∠BFM（对顶角相等），

∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等），

又OA=OB（正方形的对角线互相垂直平分且相等），

∴△BOE≌△AOF（ASA），

∴OE=OF.

故答案为：OE=OF；

（2）成立.理由如下：

证明：∵四边形是正方形，

∴，

又∵，

∴，，

又∵

∴∴，

∴