Question

【题目】已知函数f（x）=ln2（x﹣1）﹣ ﹣x+3． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥1时，不等式（x+1）x+m≤exx+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ln2（x﹣1）﹣ ﹣x+3， 得f′（x）= ln（x﹣1）+ ﹣1=
= （x﹣1＞0），
令g（x）=2（x﹣1）ln（x﹣1）﹣x2+2x，
g′（x）=2ln（x﹣1）+2﹣2x+2=2ln（x﹣1）﹣2x+4，
再令t（x）=2ln（x﹣1）﹣2x+4，
t′（x）= ，当x∈（1，2）时，t′（x）＞0，t（x）为增函数，
当x∈（2，+∞）时，t′（x）＜0，t（x）为减函数，
∴t（x）max=t（2）=0，
∴g′（x）≤0，则g（x）在（1，+∞）上为减函数，
又当x→1+时，g（x）→﹣∞，
∴f′（x）＜0，
则f（x）在（1，+∞）上为单调减函数；
（Ⅱ）由（x+1）x+m≤exx+m恒成立，即（x+m）ln（x+1）≤1+（x+m）lnx恒成立，
∴（x+m）ln ≤1，也即x+m ，
∴m 对x≥1恒成立．
令h（x）= ，
则h′（x）= ＜0（x≥1），
∴h（x）在[1，+∞）上为减函数，则h（x）≤h（1）=﹣ln2﹣1，
又当x→+∞时，h（x）→﹣∞，
∴h（x）在[1，+∞）上无最小值，
则满足m 对x≥1恒成立的m不存在．
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f′（x）= （x﹣1＞0），令g（x）=2（x﹣1）ln（x﹣1）﹣x2+2x，求导可得g′（x）=2ln（x﹣1）+2﹣2x+2=2ln（x﹣1）﹣2x+4，再令t（x）=2ln（x﹣1）﹣2x+4，利用导数求得t（x）max=t（2）=0，得g′（x）≤0，则g（x）在（1，+∞）上为减函数，进一步说明f′（x）＜0，得到f（x）在（1，+∞）上为单调减函数；（Ⅱ）由（x+1）x+m≤exx+m恒成立，即（x+m）ln（x+1）≤1+（x+m）lnx恒成立，分离参数m，可得m 对x≥1恒成立．令h（x）= ，由导数求其值域，可知h（x）在[1，+∞）上无最小值，则满足m 对x≥1恒成立的m不存在．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．