Question

【题目】如图，经过点A（0，6）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0）、C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）求直线AC所对应的函数关系式；
（3）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1 ， 若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（4）在（3）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形，请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入y= x2+bx+c得 ，解得 ，

所以抛物线解析式为y= x2﹣2x﹣6；

因为y= （x﹣2）2﹣8，

所以顶点D的坐标为（2，﹣8）；

（2）

解：当y=0时， x2﹣2x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=6，则C（6，0），

设直线AC的解析式为y=mx+n，

把A（0，﹣6），C（6，0）代入得 ，解得 ，

所以直线AC的解析式为y=x﹣6；

（3）

解：抛物线y= （x﹣2）2﹣8向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1的解析式为y= （x﹣1）2﹣8+m，

当x=1时，y=x﹣6=﹣5，

∵新抛物线y1的顶点P在△ABC内，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

∴3＜m＜8；

（4）

解：作AB的垂直平分线交x轴于E，交AB与F，如图，

AB= =2 ，则BF= ，

∵∠BEF=∠BAO，

∴Rt△BEF∽Rt△BAO，

∴ = ，即 = ，解得BE=10，

∴E（8，0），

而F（﹣1，﹣3），

设直线EF的解析式为y=kx+b，

把E（8，0），F（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直线EF的解析式为y= x﹣ ，

把方程 （x﹣1）2﹣8+m= x﹣ ，整理得3x2﹣8x+6m﹣29=0，

△=（﹣8）2﹣4×3×（6m﹣29）=﹣72m+412，

当△=0，即﹣72m+412=0，解得m= 时，抛物线y1与直线EF只有一个公共点，此时抛物线y1上存在一个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形；

当△＞0，即﹣72m+412＞0，解得m＜ ，则m的范围为3＜m＜ ，抛物线y1与直线EF有两个公共点，此时抛物线y1上存在两个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形；

当△＜0，即﹣72m+412＜0，解得m＞ 时，则m的范围为 ＜m＜8，抛物抛物线y1与直线EF没有公共点，此时抛物线y1上不存在一个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形．

【解析】（1）把A点和B点坐标代入y= x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式可得顶点D的坐标；（2）先解方程 x2﹣2x﹣6=0得C（6，0），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（3）利用抛物线的平移规律得到新抛物线y1的解析式为y= （x﹣1）2﹣8+m，再计算出新抛物线的对称轴与直线AC的交点坐标，从而得到﹣5＜﹣8+m＜0，然后解不等式得到m的范围；（4）作AB的垂直平分线交x轴于E，交AB与F，如图，证明Rt△BEF∽Rt△BAO，利用相似比计算出BE=10，则E（8，0），则利用待定系数法可确定直线EF的解析式为y= x﹣ ，然后通过判断方程 （x﹣1）2﹣8+m= x﹣ 的根的情况确定抛物线y1与直线EF的公共点的个数，从而可判断新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形，再写出对应的m的范围．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．