Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：

（1）DF∥BC；
（2）FG=FE．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠DAF．

在△ACF和△ADF中，

∵ ，

∴△ACF≌△ADF（SAS）．

∴∠ACF=∠ADF．

∵∠ACB=90°，CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，

∴∠ACF=∠B，

∴∠ADF=∠B．

∴DF∥BC

（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，

∴FG⊥AC．

∵FE⊥AB，

又AF平分∠CAB，

∴FG=FE．

【解析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．