Question

【题目】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明；

（2）当点P在线段AB上且不与点Q重合时，如图2，（1）的结论是否成立？并证明；

（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，如图3，此时（1）的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：QE=QF，

理由是：如图1，∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴∠BFQ=∠AEQ=90°，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

∴QE=QF，

（2）

解：中的结论仍然成立，

证明：如图2，延长FQ交AE于D，

∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中， ，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF．

（3）

解：（1）中的结论仍然成立，

证明：如图3，

延长EQ、FB交于D，

∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠1=∠D，

在△AQE和△BQD中， ，

∴△AQE≌△BQD（AAS），

∴QE=QD，

∵BF⊥CP，

∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，

∴QE=QF．

【解析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可；（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可
【考点精析】利用三角形的“三线”对题目进行判断即可得到答案，需要熟知1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内．