Question

【题目】在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分，P是BD上一点，过P作PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.

(1)求证： ；

(2)若，求证：四边形MPND是正方形。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．

试题解析：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90°，

∵∠ADC=90°，

∴四边形MPND是矩形，

∠ADB=∠CDB，

∴∠ADB=45°

∴PM=MD，

∴四边形MPND是正方形．