Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点D，且l∥BC

（1）求证：AD平分∠BAC

（2）作∠ABC的平分线BE交AD于点E，求证：BD=DE．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）连接OD，由直线l与⊙O相切于点D可得出OD⊥l，结合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根据垂径定理即可得出，进而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可证出BD=DE．

（1）连接OD，如图所示．

∵直线l与⊙O相切于点D，

∴OD⊥l．

∵l∥BC，

∴OD⊥BC，

∴，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

又∵，

∴∠BAD=∠CBD，

∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．

又∵∠DEB=BAE+∠ABE，

∴∠EBD=∠DEB，

∴BD=DE．