Question

【题目】如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=ABAE．
求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．

∵P点为△ABC的内心，

∴∠BAD=∠DAE，

又∵AD2=ABAE，即 = ，

∴△BAD∽△DAE，

∴∠ADB=∠E．

又∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ACB=∠E，BC∥DE，

∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，

又∵∠CAF=∠CDF，

∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，

故DE是⊙O的切线．

【解析】由P点为△ABC的内心，得到∠BAD=∠DAE，又AD2=ABAE，得到△BAD∽△DAE，∠ADB=∠E，又∠ADB=∠ACB，得到∠ACB=∠E，BC∥DE，∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，又∠CAF=∠CDF，得到∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，故DE是⊙O的切线．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．