Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，AP=PO．
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，

∴AC=10，AO= AC=5，

∵AP=PO=t，

过P作PM⊥AO，如图1所示：

∴AM= AO= ，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ACD，

∴ ，即 ，

解得：t= ，

即t= 时，AP=PO；

（2）

解：过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH= CD= AB=3cm．

由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，

在△DOP和△BOE中， ，

∴△DOP≌BOE（ASA），

∴BE=PD=8﹣t，

则S△BOE= BEOH= ×3（8﹣t）=12﹣ t．

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，相似比为 ，

∴ = ，

∵S△DOC= S矩形ABCD= ×6×8=12cm2，

∴S△DFQ=12× = ，

∴S五边形OECQF=S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ= ×6×8﹣（12﹣ t）﹣ =﹣ t2+ t+12；

∴S与t的函数关系式为S=﹣ t2+ t+12；

（3）

解：存在，理由如下：

如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，

∵∠POD=∠COD，

∴DM=DN= ，

∴ON=OM= = ，

∵OPDM=3PD，

∴OP=5﹣ t，

∴PM= ﹣ t，

∵PD2=PM2+DM2，

∴（8﹣t）2=（ ﹣ t）2+（ ）2，

解得：t=16（不合题意，舍去），t= ，

∴当t= 时，OD平分∠COP．

【解析】（1.）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，过P作PM⊥AO，证明△APM∽△ACD，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2.）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3.）由角平分线的性质得到DM=DN= ，根据勾股定理得到ON=OM= = ，由三角形的面积公式得到OP=5﹣ t，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了全等三角形的性质的相关知识点，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等才能正确解答此题．