Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB= ，BE= ，求PF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）解：PC=PF．

证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）解：连接AE．

∵∠ACE=∠BCE，

∴ = ，

∴AE=BE．

又∵AB是直径，

∴∠AEB=90°．

AB= ，

∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC．

∴ ．

∵tan∠PCB=tan∠CAB= ．

∴ = ．

设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0， ．

∵x＞0，∴ ，

∴PF=PC= ．

【解析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．