Question

【题目】如图，设 A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表， 其中aij （ i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或－1.

a	a		a
a	a		a
a	a		a

对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，y j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x1+ x2++ x)+(y1+ y2+ y)，将S 称为数表 A 的“积和”.

（1）当n = 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值；

1	1	－1	－1
1	－1	1	1
1	－1	－1	1
－1	－1	1	1

（2）是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；

（3）当n =10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20

【解析】

（1）根据已知条件直接求解即可；

（2）不存在A∈S（3，3），使得S =0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；

（3）根据已知条件求出l（A）关于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的关系式然后代入求值即可.

解：由题意得：（1）S4 = (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0

（2）不存在A∈S（3，3），使得S=0．
证明如下：
假设存在A∈S（3，3），使得S=0．
因为xi（A）∈{1，-1}，yj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3），
所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），这9个数中有3个1，3个-1．
令M=x1（A）…x3（A）y1（A）…y3（A）．
一方面，由于这9个数中有3个1，3个-1，从而M=-1．①
另一方面，x1（A）…x3（A）表示数表中所有元素之积（记这9个实数之积为m）；y1（A）…y9（A）也表示m，从而M=m2=1．②
①、②相矛盾，从而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0．

(3)（i）对数表A0：aij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．
将数表A0中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．
将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．
依此类推，将数表Ai-1中的akk由1变为-1，得到数表Ak．
即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1．
∴r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=Ck（A）=-1．
∴l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．

当n =10 时，数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值为：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.

故答案为：（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.