Question

【题目】如图，在菱形中，，为对角线延长线上一点，连接和，为上一点，且满足，连接，交于点．

（1）若，且，求的长；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明过程见详解

【解析】

（1）首先根据菱形以及等边三角形的性质，求得∠MAB=90，再证明△BMA△BMC，可得∠BCE=90，再利用勾股定理即可求解；

（2）如图，在BD上取一点G，使得BG=DF，连接CG交BE于O，只要证明，MG=MC，通过等量代换，即可证明结论．

（1）如图：

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60，

∴△ABD、△BCD都是等边三角形，

∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60，BA=BC，

∵∠AMB=30，∠ADB=∠AMB+∠DAM，

∴∠DAM=∠DMA=30，

∴∠MAB=90，DA=DM=AB=BC=CE=3，

在△BMA和△BMC中， ，

∴△BMA△BMC（SAS），

∴∠BCM=∠BAM=90，

在Rt△BCE中：．

（2）证明：如图，在BD上取一点G，使得BG=DF，连接CG交BE于O，

∵BG=DF， ∠CBG=∠BDF，BD=BC，

∴△GBC△FDB，

∴∠GBC=∠BFD，∠DBF=∠BCG，

∴∠MGC=∠BFC，

∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60，

在△COE中，∠ECO+∠EOC+∠CEO=180，

在△BCF中，∠BFC+∠CBF+∠BCF=180，

∵CB=CE，

∴∠CBE=∠CEO，

∵∠BCF=∠COE=60，

∴∠ECO=∠BFC=∠MGC，

∴MC=MG，

由（1）知△BMA△BMC，

∴AM=MC=MG，

∵MG=DG+DM， BD=CD，BG=DF，

∴DG=CF，

∴AM=CF+DM．