Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，

，

解得： ，

∴抛物线函数表达式为：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ；

∴对称轴是：直线x=1，

如图1，过B作BE⊥x轴于E，

∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，

∴C与B关于x=1对称，

∴CD=BD，

连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，

∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，

∴AB= =2 ，

AC= =2 ，

∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；

答：△ACD的周长的最小值是2 +2

（3）

解：存在，

分两种情况：

①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，

过P作PD⊥y轴于D，

设P（1，y），

则△CGP∽△AOC，

∴ ，

∴ ，

∴CG=1，

∴OG=2﹣1=1，

∴P（1，1）；

②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，

设P（1，y），

则△PEA∽△AOC，

∴ ，

∴ = ，

∴PE=3，

∴P（1，﹣3）；

综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．