Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足+（a﹣b+6）2＝0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．

（1）求出点A，B的坐标；

（2）如图2，若DB∥AC，∠BAC＝a，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．

（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，3）；（2）∠AMD＝45°+a；（3）存在.

【解析】

（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）过点M作MN∥DB，交y轴于点N，根据平行线的性质易证∠AMD＝∠AMN+∠DMN，再根据角平分线的定义整理即可得解；

（3）存在，设F（0，t），根据S△AOF+S△BOF＝S△AOB，求得F的坐标，再分P点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可.

解：（1）∵+（a﹣b+6）2＝0，

∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，

∴a＝﹣3，b＝3，

∴A（﹣3，0），B（3，3）；

（2）如图2，过点M作MN∥DB，交y轴于点N，

∴∠DMN＝∠BDM，

又∵DB∥AC，

∴MN∥AC，

∴∠AMN＝∠MAC，

∵DB∥AC，∠DOC＝90°，

∴∠BDO＝90°，

又∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，∠BAC＝a，

∴∠MAC＝a，∠BDM＝45°，

∴∠AMN＝a，∠DMN＝45°，

∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN＝45°+a；

（3）存在．

连结OB，如图3，

设F（0，t），

∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，

∴3t+t3＝×3×3，解得t＝，

∴F点坐标为（0，），

△ABC的面积＝×7×3＝，

当P点在y轴上时，设P（0，y），

∵S△ABP＝S△APF+S△BPF，

∴|y﹣|3+|y﹣|3＝，

解得y＝5或y＝﹣2，

∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；

当P点在x轴上时，设P（x，0），

则|x+3|3＝，

解得x＝﹣10或x＝4，

∴此时P点坐标为（﹣10，0），

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．