Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，连接BD，AB=2AD，点E在AB边上，连接ED．

（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面积；

（2）延长CB至点F使得BF=2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN=AN+BN．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形求出EA，DA的值，然后根据AB＝2AD求出AB的长，进而求出BE的长，利用三角形的面积公式即可求出面积；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△FHB≌△ANB，得BH＝BN，HF＝AN，则△HBN是等腰直角三角形，有NH＝NB，根据线段的和代入得结论．

试题解析：

解：（1）在Rt△ADE中，

∵∠EDA＝30°，∴EA＝ ED＝ ×6＝3，

DA＝EDcos30°＝6×＝3，

∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，∴S△BED＝ ×BE×DA＝ （6﹣3）×3＝ ；

（2）如图，过B作BH⊥BN，交FM于H，

∴∠NBH＝∠NBA＋∠EBH＝90°，

又∵∠ABF＝∠HBF＋∠EBH＝90°，

∴∠NBA＝∠HBF，

∵CF∥AD，

∴∠AMN＝∠F，

∵AN⊥EM，

∴∠AMN＋∠MAN＝90°，

∠MAN＋∠NAB＝90°，

∴∠NAB＝∠AMN，

∴∠NAB＝∠F，

又∵BF＝2AD，AB＝2AD，

∴AB＝BF，

∴△ANB≌△FHB，

∴BN＝BH，AN＝FH，

∴△BNH是等腰直角三角形，

∴NH＝NB，

∵FN＝FH＋NH

＝AN＋NB/span>．